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.:Coincidenze e matematica
Quasi tutti hanno una qualche storia da raccontare su coincidenze sorprendenti o sull'effetto sproporzionato di un evento in apparenza banale, come aver perso un aereo, aver fatto un incontro fortunato o avere commesso uno strano errore. A causa del ruolo che il caso ha nel decidere con chi viviamo e chi sposiamo e nel plasmare molti altri aspetti della vita quotidiana, la nostra vita quotidiana, la nostra può darci l'impressione di essere dominata da coincidenze.
Oggi i quotidiani, la televisione, internet e persino la grande mobilità offertaci dall'automobile o dall'europlano ci offrono uno spaccato estremamente vario di eventi che entrano in qualche modo nella nostra esperienza. Curiose giustapposizioni, connessioni accidentali, fatti separati del nostro contesto ed eventi apparementente miracolosi forniscono di continuo alimento ai motori della nostra mente impegnati a razionalizzare le coincidenze. Noi siamo spinti a inventare storie che colleghino gli eventi disgiunti della nostra vita.
- Nella primavera del 1996 il professore di matematica Celestino Mendez stava spiegando il concetto statistico di valore atteso nella sua classe al Metropolitan State College di Denver. Egli notò che in un concorso pronostici, in cui si scommette sui numeri che saranno estratti, il valore ateso - la vincita o perdita probabili - aumenta man mano che cresce il montepremi. Mendez raccomandò ai suoi allievi di comprare un biglietto alla lotteria del Colorado, poiché a quel tempo il rendimento atteso era salito a un guadagno di quattordici cent per ogni biglietto da un dollaro comprato. (normalmente il rendimento atteso è negativo perché solo metà del denaro raccolto viene restituito sotto forma di premi e a lungo termine i giocatori perdono. Quella sera il professore, mentre stava tornando a casa, decise di seguire il suo stesso consiglio e comprò dieci biglietti. Il suo ottimismo fu premiato: uno dei suoi biglietti risultò vincente ed egli divise il premio di 15 milioni di dollari con l'altro giocatore che aveva scelto gli stessi numeri 9, 12, 13, 14, 15 e 21.
- Il 29 giugno 1990 i lanciatori Dave Stewart dell'Oakland Athletics e Fernando Valenzuela dei Los Angeles Dodgers non lasciarono andare in base nessun avversario. Fu la prima volta, nella storia del baseball della major league, che in ognuna delle due squadre ci fu un lanciatore che non permise ad alcun battitore della squadra avversaria di colpire la palla e andare in base.
- Nel numero uscito il 7 aprile 1912 la rivista Popular Mechanics presentò un articolo immaginario sul viaggio inaugurale del più grande transatlantico del mondo. Mentre si avvicinava a Terranova, un iceberg lo investė aprendogli una grossa falla nello scafo e il piroscafo affondò. Questo articolo anticipò solo di una settimana la sfortunata vicenda del Titanic che affondò nel corso del suo primo viaggio dopo aver urtato un icebert nella notte del 14 aprile 1912.
- Nell'estate del 1979 un ragazzo di quindici anni pescò un merluzzo di quattro chili e mezzo in un fiordo norvegese e lo portò alla nonna perché lo pulisse. Quando la nonna gli aprė lo stomaco vi trovò un anello di brillanti: un'eredità di famiglia che aveva perso pescando nel fiordo dieci anni prima.
- I dischi del Sole e della Luna visti dalla Terra hanno quasi esattamente la stessa grandezza, fornendoci una visione particolamente spettacolare della corona solare durante un'eclisse di Sole.
Il matematico Persi Diaconis, della Harvard University, ha molto riflettuto sulle coincidenze nell'intento di sviluppare una teoria matematica per spiegarne l'occorrenza. Più di un decennio fa cominciò a chiedere a colleghi, amici e amici di amici di mandargli esempi di coincidenze sorprendenti. La collezione è andata sempre crescendo da allora fino a totalizzare centinaia di casi e a riempire decine di taccuini di appunti.
Diaconis trovò che quasi tutte le coincidenze possono essere spiegate nei termini di alcune regole semplici. "Sono l'attività del mondo e la nostra etichettatura degli eventi a generare le coincidenze", afferma. Ha trovato che i suoi esempi potevano essere catalogati in varie ampie categorie. Alcune coincidenze hanno cause nascoste, cosicché non possono essere considerate alla stregua di vere coincidenze. Altre vengono riconosciute grazie a fattori psicologici che ci rendono insolitamente sensibili a certi eventi accidentali mentre ne ignoriamo altri. Pensiamo perciò che tali eventi siano insoliti mentre in realtà non lo sono, oppure siamo inclini a percepire connessioni casuali che in realtà non esistono.
La maggior parte delle coincidenze, però, sono semplicemente eventi casuali che risultano essere molto più probabili di quanto la gente non immagini. "Noi siamo sorpresi da cose che risultano essere piuttosto usuali", osserva Diaconis. Un esempio del genere riguarda la data di nascita. E' piuttosto improbabile che due persone che si incontrano abbiano la stessa data di nascita (mese e giorno). Quanto maggiore è il numero di persone che entrano a far parte di un gruppo, però, tanto più aumenta la probabilità che almeno due di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno.
Ignorando il dettaglio tecnico minore degli anni bisestili è chiaro che, in un gruppo di 366 persone, almeno due devono festeggiare il loro compleanno lo stesso giorno. Eppure a molti sembra controintuitivo che in un gruppo bastino solo 23 persone perché si abbia una probabilità del 50% che almeno due abbiano lo stesso giorno di nascita. In altri termini, almeno metà delle classi scolastiche di media grandezza è probabile che ci sia un compleanno condiviso da due studenti.
Per vedere perché bastino 23 persone per avere una probabilità del 50% che due studenti festeggino il loro compleanno lo stesso giorno, dobbiamo considerare più nel dettaglio le probabilità quin in gioco.
Se consideriamo una persona specifica, possiamo supporre che 365 giorni dell'anno abbiano tutti un'uguale probabilità di essere il suo compleanno. La probabilità che uno di quei giorni sia il giorno del suo compleanno è quindi di 365/365. Perché un'altra persona abbia un compleanno che non coincida con quello della prima, essa dev'essere nata in uno degli altri 364 giorni dell'anno. Si ottiene la probabilità che i compleanni di due persone non coincidano moltiplicando 365/365*364/365 = 0,9973. La probabilità di una coincidenza è, inversamente, 1 - 0,9973, ossia 0,0027, che è meno dell'1%. Nel caso di tre persone, la pobabilità che non ci siano due compleanni lo stesso giorno è 365/365*364/365*363/365 = 0,9918.
All'aumentare del numero delle persone che entrano a far parte del gruppo, diminuisce la probabilità che non ci siano due persone che hanno il compleanno in comune. Quando il calcolo arriva a 23 persone, la probabilità che non ci siano due persone con lo stesso giorno di compleanno si è ridotta a 0,4927. Cosė le probabilità di almeno una coincidenza del giorno di nascita in un gruppo di 23 persone è di 1 - 0,4927 = 0,5073, ossia leggermente superiore al 50%. La ragione per cui il numero di persone corrispondente a questa probabilità è cosė piccolo, ossia solo 23, si deve al fatto che non stiamo cercando due compleanni aventi una data specifica. La corrispondenza che cerchiamo non riguarda due persone precise o una particolare data. Una qualsiasi corrispondenza, concernente una data qualsiasi e due persone a piacere, è sufficiente a creare una coincidenza.
La stessa idea si applica in molte altre situazioni. Nel 1986, per sempio, una donna del New Jersey vinse alla lotteria due premi di un milione di dollari ciascuno in quattro mesi. Essa ebbe una fortuna incredibile; eppure la probabilità che una cosa del genere possa accadere a qualcuno da qualche parte negli Stati Uniti è solo di 1 a 30. Poiché ogni giorno un numero grandissimo di persone compra biglietti della lotteria, qualcuno fra i molti milioni di giocatori ha qualche possibilità di vincere due volte.
Secondo Diaconis, risultati del genere illustrano il funzionamento di quella che egli chiama la legge dei numeri davvero grandi. "Nel caso di un campione veramente grande, può accadere qualsiasi cosa, per quanto strana", dice. Egli continua poi illustrando il punto col paradosso del filo d'erba. Supponiamo che qualcuno si trovi in un prato e indichi un singolo filo d'erba. La probabilità di scegliere quel particolare filo d'erba può essere di uno su milioni, ma la probabilità di scegliere un fino d'erba è del 100%. Perciò, se una cosa accade ogni giorno a una persona su un milione e la popolazione degli Stati Uniti è di 250 milioni di persone, "dobbiamo attenderci 250 coincidenze soprendenti ogni giorno" dice Diaconis. Una parte di queste coincidenze saranno riferite da qualche parte nella stampa o saranno sottolineate nelle innumerevoli discussioni su internet.
Un altro fattore che richiama l'attenzione su coincidenze che appaiono soprendenti è il fatto che molti eventi casuali possono essere considerati degni di nota in una situazione data. Due persone che si incontrano a una festa possono scoprire di avere lo stesso compleanno, di provenire dalla stessa città, di avere un amico in comune o di avere un lavoro simile. In verità le cose che due persone possono avere in comune sono in cosė gran numero che si potrebbero trovare moltissime coincidenze.
Un'altra categoria di coincidenze è quella che non richiede corrispondenze del tutto esatte. Per esempio in una stanza bastano quattorcidi persone per avere buone probabilità di trovarne due che facciano il compleanno nello stesso giorno o in giorni consecutivi. Fra sette persone, c'è una probabilità del 70% circa che due abbiano il compleanno a meno di un mese l'una dall'altra. "Se si cambiano anche solo leggermente le condizioni per una coincidenza, si possono cambiare molto i numeri" afferma Diaconis. A tal fine, dicono, "trovo impressionante l'utilità del problema del compleanno come strumento per riflettere sulle coincidenze".
Analisi del genere sono importanti non solo per destinare il significato di coincidenze nella vita quotidiana, ma anche per rivelare connessioni non percepite e cause nascoste. Quando i ricercatori trovano nei loro dati strane concentrazioni di certe malattie, difetti congeniti o tumori, devono decidere se questi eventi rappresentino una manifestazione casuale di malasorte o se possano riflettere una causa sottostante. Similmente, nella valutazione dei dati concernenti la sperimentazione clinica di un nuovo farmaco sarà opportuno stabilire se un gran numero di decessi in una particolare sottogruppo di pazienti sia una semplice coincidenza o se invece il farmaco sia pericoloso per alcune persone.
"Gran parte delle scoperte scientifiche dipende dal ritrovamento della causa di una coincidenze sconcertante" osserva Diaconis in un articolo sui metodi per lo studio delle coincidenze. "Al tempo stesso, moltissime coincidenze derivano da cause nascoste che non vengono mai scoperte". Benché le coincidenze risiedano in realtà nella mente di chi le osserva, esse guidano gran parte della nostra vita. "Noi nuotiamo in un oceano di coincidenze", conclude Diaconis. "La spiegazione è che siamo la natura e noi a crearle, a volte in modo casuale, ma in parte anche attraverso la percezzione o attraverso relazioni accidentali obiettive. E' ovvio che spesso non possiamo calcolare le probabilità, ma quando possiamo tali calcoli ci forniscono informazioni utili".
Continua: Regole nel caso
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